Glavni cilj ovog rada je predstaviti kongruencije i proučiti neke konkretne primjene kongruencija. Glavni dio rada podijeljen je u 6 poglavlja. U prvom poglavlju predstaviti ćemo kongruencije i razviti osnovna svojstva kongruencija. Osim toga, proučiti ćemo linearne kongruencije s jednom nepoznanicom te ćemo pokazati kako riješiti linearne kongruencije. Pomoću teorije kongruencija možemo razviti jednostavne kriterije za provjeru je li dani cijeli broj n djeljiv s cijelim brojem m. U drugom poglavlju ćemo razviti kriterije djeljivosti za \(2^{j}\), \(5^{j}\),10, 3, 9, 11, 37 i 7, 11, 13. Također ćemo demostrirati metode izbacivanja dvojki i izbacivanja devetki koje se koriste za otkrivanje pogreški u rezultatima računskih operacija. Uvesti ćemo pojam digitalnog korijena koji je usko povezan s metodom izbacivanja devetki. U trećem poglavlju ćemo vidjeti kako se pomoću kongruencija mogu otkriti i ispraviti pogreške u decimalnim stringovima koji se koriste za identifikaciju knjiga, proizvoda, pošiljki i drugih informacija te vrste. Pomoću teorije kongruencija možemo generirati umjetničke i zanimljive dizajne. U četvrtom poglavlju istražujemo tri takva dizajna: zvijezdu s m krakova, (m, n) dizajn ostatka i quilt dizajn. U petom poglavlju razvijamo formulu za uspješno smještanje p kraljica na p × p šahovsku ploču tako da se nikoje dvije kraljice međusobno ne napadaju, gdje je p prost broj veći od 3. Kongruencije se mogu primjeniti i za konstruiranje rasporeda susreta u turniru u kojem natjecatelji igraju po principu ”svaki sa svakim”. U zadnjem poglavlju, pokazati ćemo kako konstrurati raspored susreta u turniru za n različitih timova.

The main goals of this paper are to introduce congruences, and to study some concrete applications of congruences. The main part of this paper is divided into six chapters. In the first chapter we will introduce congruences and develop their fundamental properties. We will also study a linear congruences with one unknown and describe some methods for solving linear congruences. The theory of congruences can be used to develop simple tests for checking whether a given integer n is divisible by an integer m. In the second chapter we will develop divisibility tests for \(2^{j}\), \(5^{j}\), 10, 3, 9, 11, 37 and 7, 11, 13. We will also demonstrate two techniques called casting out nines and casting out twos. These techniques can be used to detect computational errors. We will introduce the concept of the digital root of a positive integer N which is closely related to casting out nines. In the third chapter we will see how congruences are used to detect and correct errors in strings of decimal digits used in identfications of books, products, mails and other information of this type. The theory of congruences can be used to generate artistic and interesting designs. In fourth chapter we explore three such designs: m-pointed star, (m, n) residue design, and quilt design. In fifth chapter we develop a formula for successfully placing p queens on a p × p chessboard in such a way that no two queens can attack each other, where p is a prime > 3. Congruences can be applied to schedule round-robin tournaments. In the last chapter, we will show how to schedule a tournament for n different teams.