Title Cjelobrojne funkcije i primjene Title (english) Integer - valued Functions and Applications Author Marina Piškorjanac Mentor Ivan Soldo (mentor)Committee member Mirela Jukić Bokun (predsjednik povjerenstva)Committee member Ivan Soldo (član povjerenstva)Committee member Ljerka Jukić Matić (član povjerenstva)Granter Josip Juraj Strossmayer University of Osijek Defense date and country 2019-07-02, Croatia Scientific / art field, NATURAL SCIENCES Abstract Glavni cilj ovog rada jest upoznati čitatelje s nekima od cjelobrojnih funkcija
te njihovim primjenama u svakodnevnom životu i raznim područjima matematike
i drugih znanosti. Iz same definicije cjelobrojnih funkcija kao funkcija čija je slika
podskup skupa cijelih brojeva jasno je kako se radi o vrlo velikom skupu funkcija, pa
su za prezentaciju u ovom radu odabrane one od posebne važnosti u teorijskoj matematici te cjelobrojne funkcije sa zanimljivim primjenama u modeliranju situacija iz stvarnog života. Rad je podijeljen u četiri smisleno odijeljena i tematski podosta
različita poglavlja.
Na samom smo početku definirali vrlo trivijalnu cjelobrojnu funkciju zvanu karakteristična ili indikator funkcija. Naveli smo neka njena svojstva te pokazali kako se u različitim oblicima može primijeniti u matematičkoj analizi, teoriji vjerojatnosti i
statistici. Iskoristili smo ju i pri dokazu tvrdnje da nekonstantne cjelobrojne funkcije
imaju prekid. Uzimajući linearnu kombinaciju karakterističnih funkcija, definirali
smo veliku klasu stepenastih funkcija te naveli jednostavne primjere s primjenama.
Zbog brojnih zanimljivih primjena, cjelobrojne stepenaste funkcije pod i strop
zaslužile su posebno poglavlje u ovom radu. Istaknuli smo kako bi bilo poželjno češće
ih obradivati u redovnoj i dodatnoj nastavi, zbog lakog razumijevanja i predočavanja
njihovih svojstava te brojnih primjena u bliskim situacijama iz svakodnevnog života.
Pomoću funkcija pod i strop pojednostavili smo neke složenije matematičke formule
te definirali druge operacije i funkcije koje primjenu nalaze u kombinatorici, teoriji
brojeva i računalnoj znanosti.
U trećem je poglavlju dan pregled cjelobrojnih aritmetičkih funkcija u teoriji
brojeva. Najpoznatije od njih, broj i suma djelitelja te Eulerova funkcija, detaljnije su opisane te su kratko navedene njihove primjene. Definirali smo i nekoliko
zanimljivih funkcija koje se vežu uz svojstva prirodnih, posebice prostih brojeva.
Na kraju smo se dotaknuli algebarskih svojstava skupa cjelobrojnih funkcija
te izdvojili njegov podskup cjelobrojnih polinoma, čija struktura prstena vodi do
brojnih primjena u algebri i algebarskoj geometriji.
Abstract (english) The aim of this paper is to introduce the readers to some of integer-valued functions, their real-life applications, and applications in different fields of mathematics and other sciences. The integer-valued functions are functions whose image is some subset of integers. It yields from the definition that the set of integer functions includes a large number of functions. In this paper, we chose and present those with great importance in theoretical mathematics and has an application in real-life.
In Chapter 1, we defined a trivial integer function called characteristic or indicator function and gave some of its properties and applications in analysis, probability, and statistics. It is used to show that every integer function, not equal to constant,
has discontinuity. By taking the linear combination of characteristic functions, we defined a big class of step functions. Through examples we illustrated some of their applications.
The next chapter deals with interesting properties and applications of floor and
ceiling function. Since they are easily understandable and have lots of applications
in familiar real-life situations, we pointed out that they should be more involved in
school curriculum. Moreover, by using these functions we simplified some complex
formulae and defined some other operations and functions, used in combinatorics,
number theory and computer science.
The Chapter 3 of this paper gives the review of integer-valued arithmetic functions in number theory. We shortly listed the most important of them, i.e., number and sum of divisors of positive integer, Euler function and their applications. Moreover, we defined some other interesting functions which mostly deal with primes.
Finally, we explained the algebraic properties of integer-valued functions and integer-valued polynomials whose ring structure leads to numerous applications in algebra and algebraic geometry
Keywords
cjelobrojne funkcije
karakteristična funkcija
stepenaste funkcije
funkcije pod i strop
aritmetičke funkcije
cjelobrojni polinomi
Keywords (english)
integer-valued functions
characteristic function
step functions
floor and ceiling functions
arithmetic functions
integer-valued polynomials
Language croatian URN:NBN urn:nbn:hr:126:217656 Study programme Title: Mathematics and Computer Science Type of resource Text File origin Born digital Access conditions Open access Terms of use Created on 2019-07-08 09:37:10
