| Sažetak | U ovom diplomskom radu upoznali smo se s procesom difuzija. U prvom poglavlju
smo definirali stohastičke diferencijalne jednadžbe. Krenuli smo od Riemannovog integrala, definirali Riemann-Stieltjesov integral nakon čega smo došli do Itôvog integrala,
Itôve formule i važnijih svojstava za razumijevanje koncepta stohastičkih diferencijalnih jednadžbi. U drugom poglavlju, koji je i
glavni dio rada detaljnije smo razradili difuzije. Definirali smo difuzije preko stohastičkih diferencijalnih jednadžbi te preko
Markovljevih procesa. Opisali smo infinitezimalne parametre, definirali vrijeme prvog
zaustavljanja i difuzije sa zaustavljanjem koje smo objasnili pomoću primjera. Zatim
smo naveli uvjete pomoću kojih se može provjeriti je li stohastički proces difuzija. Slijedi
definiranje gustoće skaliranja i gustoće mjere brzine pomoću kojih smo definiral funkcije
S<l, x] , M<l, x], Σ(l), N(l). Pomoću tih funkcija smo odredili vrste granica intervala na
kojem je difuzija definirana. Granica može biti privlačeća, dostižna, nedostižna te ih po
Felleru dijelimo na regularnu, izlaznu, ulaznu i prirodnu. Iduće smo definirali infinitezimalni generator, uz koji se vežu i
Kolmogorovljeve jednadžbe. Također smo uočili i da je rješenje Kolmogorovljeve jednadžbe unazad prijelazna funkcija gustoće
procesa, dok je rješenje vremenski nezavisne Kolmogorovljeve jednadžbe unaprijed funkcija gustoće
stacionarne distribucije procesa. Na Ornstein-Uhlenbeckovom procesu smo pokazali
kako izgledaju Kolmogorovljeve jednadžbe, uočili smo da je Vasičekov model specijalan slučaj Ornstein-Uhlenbeckova procesa
koji se često koristi za modeliranje kamatnih stopa. Treće poglavlje temelji se na Pearsonovim difuzijama. Može se reći da
Pearsonove difuzije možemo definirati na dva načina, pomoću Pearsonove diferencijalne jednadžbe
do koje je Kolmogorovljev došao proučavanjem Kolmogorovljeve jednadžbe unaprijed te
kao rješenje stohastičke diferencijalne jednadžbe određenog oblika. Na kraju smo naveli tri Pearsonove difuzije, njihove stohastičke diferencijalne jednadžbe, parametre, funkciju
prijelazne gustoće te grafički prikazali simulacije trajektorija. |
| Sažetak (engleski) | In this thesis, we introduced the diffusion process. In the first chapter, we defined
stochastic differential equations. We started from the Riemann integral, defined the
Riemann-Stieltjes integral, after which we came to the Itô integral, Itô formula and more
important properties for understanding the concept of stochastic differential equations.
In the second chapter, which is also the main part of the paper, we have elaborated diffusions. We defined diffusions via stochastic differential equations and Markov processes.
We have described the infinitesimal parameters, defined the hitting time and diffusion
with killing, which we explained with the help of example. We have then outlined the
conditions by which the stochastic process can be verified as diffusion. The following is
to define the scale function and the speed density by which we have defined the functions S<l, x], M<l, x], Σ(l), N(l). Using these functions, we have determined the types of
boundaries. The boundary can be attracting, attainable, unattainable and, according to
Feller, we divide them into regular, exit, entrance and natural. Next, we have defined
the infinitesimal generator, which is linked to the Kolmogorov equations. We have also
noticed that the solution of the Kolmogorov backward equation is a transition density,
while the solution of the time-independent Kolmogorov forward equation is a stationary
distribution of the corresponding diffusion. In the Ornstein-Uhlenbeck process, we have
showed what the Kolmogorov equations look like, we have noticed that the Vasicek model is a special case of the Ornstein-Uhlenbeck process, which is often used for interest
rate modeling. The third chapter is based on Pearson diffusions. It can be said that we
can define Pearson diffusions in two ways, using the Pearson differential equation that
Kolmogorov obtained by studying the Kolmogorov forward equation and as a solution
of a stochastic differential equation of a certain form. Finally, we have listed the three
Pearson diffusions, their stochastic differential equations, the parameters, the transition
density and graphically depicted the simulations of the sample paths. |
